Schwere Mathe Aufgabe Mit Lösung

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Wie alt ist sein Spielkamerad? Mit Mathematik lässt sich das mitunter beantworten

Foto: Daniel Karmann/ dpa

Da hätte ich eigentlich auch drauf kommen können! Das denke ich jedes Mal, wenn ich mir den Trick des kleinen Carl Friedrich Gauß anschaue, mit dem er die Zahlen von 1 bis 100 im Handumdrehen addierte. Der Lehrer des kleinen Gauß hatte diese Aufgabe gestellt, in der Hoffnung, dass seine Schüler dann damit ein Weilchen beschäftigt sind.

Doch der junge Mathematiker entdeckte einen Pull a fast one on, der ihm das umständliche Addieren von hundert Zahlen ersparte. Gauß ordnete die hundert Zahlen einfach paarweise an. Er schrieb: 1+100, 2+99, 3+98, 4+97, ... , 50+51

Damit stand das Ergebnis schon da: Die 50 Zahlenpaare ergeben jeweils 101 - also ist dice gesuchte Summe 50 10 101 = 5050.

Wie aber findet human being solche cleveren Lösungen? Vielleicht fragen Sie sich das ja auch? Ob Sie das Zeug zum kleinen Gauß haben, weiß ich nicht. Ich kann Ihnen aber zumindest zwei Tipps geben, wie man sich Aufgaben nähert, bei denen zunächst nicht klar ist, auf welche Weise homo sie überhaupt lösen soll.

Vorsicht Falle!

Zuallererst müssen Sie natürlich die Aufgabe selbst verstanden haben. Wenn Ihnen beim Lesen des Textes etwas spanisch vorkommt, sollten Sie genau aufpassen. Oft liefern solche Stolpersteine in der Aufgabe nämlich wertvolle Hinweise zum Finden der Lösung.

Nehmen wir folgendes Rätsel, das ich in einem Mathe-Forum entdeckt habe:

Zwei russische Mathematiker treffen sich zufällig im Flugzeug: "Hattest du nicht drei Söhne?", fragt der eine, "wie alt sind die denn jetzt?" "Das Produkt der Jahre ist 36", lautet die Antwort, "und dice Summe der Jahre ist genau das heutige Datum." "Hmm, das reicht mir noch nicht", meint darauf der Kollege. "Oh ja, stimmt", sagt der zweite Mathematiker, "ich habe ganz vergessen zu erwähnen, dass mein ältester Sohn einen Hund hat." Wie alt sind die drei Söhne?

Ich weiß nicht, ob es Ihnen auch so geht, aber der Hinweis auf den Hund hat mich sofort an die Kapitänsaufgaben erinnert. Was hat der Besitz eines Hundes mit dem Alter zu tun? Gibt es eventuell ein Mindestalter für Kinder, um ein eigenes Haustier zu haben? Falls ja, wo soll das liegen? Bei zwei? Oder drei?

Ein weiteres Problem ist, dass eine wichtige Zahl fehlt. Wir kennen das Produkt der Jahre der Kinder, jedoch nicht die Summe. Im Text steht nur, dass die Summe genau dem Datum entspricht. Ist dice Aufgabe überhaupt lösbar? Ich habe mir den Text dann nochmals durchgelesen.

Und dann begann ich zu ahnen, dass der Hund tatsächlich nichts mit der Lösung zu tun haben kann. Wichtig ist offenbar vielmehr der Hinweis, dass es einen ältesten Sohn gibt. Es könnten ja auch zwei gleichaltrige Zwillinge sein. Für den Kollegen war jedenfalls der Hinweis auf den ältesten Sohn mit Hund entscheidend, um das Modify aller drei Kinder ausrechnen zu können.

Jetzt kennen wir das Datum aber immer noch nicht. An dieser Stelle hilft etwas Erfahrung. Wahrscheinlich gibt es nur eine Handvoll möglicher Alterskombinationen - immerhin wissen wir ja, dass ihr Produkt 36 ist. Und diese Varianten schreibt man einfach auf und prüft, welche davon die richtige ist. Mathematiker nennen das Fallunterscheidung. Genauso bin ich dann auch vorgegangen.

Alle drei Jungen müssen mindestens ein Jahr alt sein - falls nicht, wäre das Produkt ihrer Jahre ja null. Jetzt schreiben wir einfach alle denkbaren Alterskombinationen in eine Liste und dahinter jeweils die Summe der Jahre - too das mögliche Datum:

Change erster Sohn	Modify zweiter Sohn	Alter dritter Sohn	Summe der Jahre
1	1	36	38
1	two	xviii	21
one	3	12	16
ane	4	9	xiv
ane	6	half dozen	thirteen
two	two	9	13
2	iii	6	11
3	3	4	ten

Wenn ich keine Alterskombination vergessen habe, dann gibt es genau acht verschiedene Möglichkeiten.

Die erste, 1, 1, 36, scheidet aus, weil es kein Datum 38 gibt. Bleiben also sieben Möglichkeiten. Weil der Kollege des Mathematikers jedoch trotz Kenntnis des Datums nicht wusste, wie alt dice Söhne sind, muss es für dieses Datum mindestens zwei verschiedene Alterskombinationen geben.

Für die gesuchte Summe der Jahre kommt daher nur 13 infrage, denn 13 ist sowohl 1 + 6 + half dozen als auch 2 + 2 + 9. Aber nur im Autumn two, two, ix gibt es einen ältesten Sohn, bei one, 6, half dozen sind die beiden ältesten Jungen gleich alt. Likewise muss die Lösung 2, 2, 9 lauten.

Anders denken

Ausgetretene Pfade verlassen - das ist eine der wichtigsten Methoden, um kreative Ideen zu entwickeln. In der Mathematik fällt das frequently schwer, weil wir einfach zu sehr in Lösungstechniken denken, die wir gelernt haben.

Das ist wie Reisen mit der Eisenbahn. Wir können so nur die Orte erreichen, zu denen auch Schienen führen. Dice interessantesten Ziele liegen aber mitunter abseits des Netzes. Um dahin zu gelangen, muss homo die Gleise verlassen. Und daran sollte man immer wieder denken, wenn man über einem Mathe-Problem grübelt und nicht and so recht weiterkommt.

Ein einfaches Beispiel:

Teilen Sie ein quadratisches Feld in fünf gleich große, identisch aussehende Beete. Ich kann ein Quadrat wunderbar halbieren oder vierteln - aber wie soll man es in fünf gleiche Stücke zerlegen?

Wenn Sie es schaffen, sich vom Halbieren und Vierteln zu lösen, ist die Aufgabe schon so gut wie gelöst. Sie zerschneiden das Quadrat einfach in fünf schmale, aneinandergrenzende Streifen - fertig.

Die nächste Aufgabe ist etwas schwieriger.

Ein Bauer volition seinen Besitz an seine vier Söhne vererben. Kann er das Feld - siehe Grafik unten - in vier gleich große, identisch geformte Teilstücke teilen?

Zur Lösung Grafik anklicken

Foto: Holger Dambeck

Ich gebe es zu: An dieser Aufgabe bin ich gescheitert. Dritteln lässt sich das Grundstück ja noch wunderbar, es besteht schließlich aus drei Quadraten, die gemeinsam eine Ecke bilden. Aber wie soll man es vierteln?

Solange ich nach einer Lösung suche, dice aus Rechtecken besteht, komme ich nicht weiter. Ich habe es auch mit Dreiecken probiert, aber es war kein Weiterkommen. Der Trick ist, sich von den einfachen Formen wie Dreieck oder Rechteck zu lösen.

Die Lösung könnte ja auch ein Fünf- oder Sechseck sein. Und warum sollte dieses Polygon regelmäßig geformt sein? Wer sich öfter mit geometrischen Puzzles beschäftigt, sieht die Lösung womöglich sofort. Ich musste im Lösungsteil des Rätselbuchs nachschauen.

Human muss dice Figur in vier identisch geformte, aber nur ein Viertel so große Teilfiguren zerlegen (zur Lösung bitte Grafik oben anklicken). Dice Felder sehen damit genauso aus wie der ursprüngliche Besitz des Bauern: ein konkaves Sechseck, das aus drei identischen Quadraten zusammengesetzt ist.

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Dies ist ein Auszug aus Kapitel 7 des soeben erschienen Buchs "Je mehr Löcher, desto weniger Käse - Mathematik verblüffend einfach"  von Holger Dambeck (Kiepenheuer & Witsch, 256 Seiten, viii,99 Euro).

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Und jetzt sind Sie dran: Wollen Sie sich selbst an einem Mathe-Rätsel probieren? Mit der richtigen Idee und etwas Glück können Sie mein neues Buch gewinnen. Hier geht es zum Rätsel:

Eine Kopfnuss für Sie

Hier ist dice Aufgabe:

Die vier Ziffern iv, 5, 6, vii werden zufällig auf die vier Lücken in der Zahl

7..3..6..four..48

verteilt. Das Ergebnis ist eine zehnstellige Zahl - zum Beispiel 7four35visix4vii48 (dice eingesetzten Ziffern sind fett).

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dice Zahl, dice Sie durch zufälliges Einsetzen der vier Ziffern erhalten, durch 36 teilbar ist?

Mit der richtigen Antwort - die Angabe bitte in Prozent und auf eine Stelle nach dem Komma genau - können Sie ein Exemplar meines Buchs "Je mehr Löcher, desto weniger Käse" gewinnen.

Die Buchverlosung ist beendet! Inzwischen stehen auch die Gewinner fest - sie werden benachrichtigt.

Die richtige Lösung lautet 100,0 Prozent.

Wie kommt human darauf? Weil 36=4•nine sowie 4 und nine teilerfremd sind, ist eine Zahl genau dann durch 36 teilbar, wenn sie zugleich durch 4 und 9 teilbar ist. Dice konstruierte Zahl ist immer durch 9 teilbar, weil ihre Quersumme 54 durch 9 teilbar ist. Und sie ist auch durch four teilbar, weil ihre letzten beiden Zahlen (48) durch 4 teilbar sind.

Source: https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/die-kniffligsten-mathe-raetsel-und-ihre-loesungen-a-819639.html

Posted by: najerafortionle.blogspot.com

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